MathLabs

第4問

凸四角形 ABCDABCD が AB=AD+BCAB=AD+BC を満たすとする。四角形の内部の点 PP が直線 CDCD から距離 hh にあり、AP=h+ADAP=h+AD, BP=h+BCBP=h+BC を満たすとき、1h≥1AD+1BC\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}} を証明せよ。
ステップ 2/5: 可能な高さを上から抑える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

極値円は2つの接する円と直線の間に入る最大の小円である。

ΓP lies inside the curvilinear triangle bounded by ΓA,ΓB,t\Gamma_P\text{ lies inside the curvilinear triangle bounded by }\Gamma_A,\Gamma_B,t
詳しい解説

C,DC,D と同じ側にある ΓA\Gamma_A と ΓB\Gamma_B の共通外接線を tt とする。PP は ABCDABCD の内部にあり、ΓP\Gamma_P は CDCD に接しているので、この円 ΓP\Gamma_P は ΓA,ΓB\Gamma_A,\Gamma_B の弧と tt に囲まれた曲線三角形内に閉じ込められる。これを外側へ動かすと、tt にも接するときに半径が最大になる。