MathLabs

第4問

凸四角形 ABCDABCD が AB=AD+BCAB=AD+BC を満たすとする。四角形の内部の点 PP が直線 CDCD から距離 hh にあり、AP=h+ADAP=h+AD, BP=h+BCBP=h+BC を満たすとき、1h≥1AD+1BC\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}} を証明せよ。
ステップ 3/5: 極値配置の接線長を計算する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

2つの直角三角形が円の接触を積の公式に変える。

CD2=4AD BC,DE2=4h AD,CE2=4h BCCD^2=4AD\,BC,\quad DE^2=4h\,AD,\quad CE^2=4h\,BC
詳しい解説

極値位置で、D,C,ED,C,E をそれぞれ tt と ΓA,ΓB,ΓP\Gamma_A,\Gamma_B,\Gamma_P の接点とする。接点への半径は垂直なので、極限四角形の直角三角形 ADCADC と BCDBCD から CD2=AB2−(AD−BC)2=4AD BCCD^2=AB^2-(AD-BC)^2=4AD\,BC を得る。同一直線に接する半径 r,sr,s の2円の標準接線長公式から DE2=4h ADDE^2=4h\,AD, CE2=4h BCCE^2=4h\,BC も得られる。