MathLabs

第4問

凸四角形 ABCDABCD が AB=AD+BCAB=AD+BC を満たすとする。四角形の内部の点 PP が直線 CDCD から距離 hh にあり、AP=h+ADAP=h+AD, BP=h+BCBP=h+BC を満たすとき、1h≥1AD+1BC\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}} を証明せよ。
ステップ 4/5: 接線分を足し合わせる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

3つの接線長の加法が逆平方根の加法を生む。

CD=DE+CECD=DE+CE
詳しい解説

共通接線上の順序は D,E,CD,E,C なので CD=DE+CECD=DE+CE。ステップ3の式の平方根を取ると 2AD BC=2h AD+2h BC2\sqrt{AD\,BC}=2\sqrt{h\,AD}+2\sqrt{h\,BC} となる。2h AD BC2\sqrt{h\,AD\,BC} で割れば極値の場合に 1h=1AD+1BC\frac1{\sqrt h}=\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}} を得る。