MathLabs

第4問

凸四角形 ABCDABCD が AB=AD+BCAB=AD+BC を満たすとする。四角形の内部の点 PP が直線 CDCD から距離 hh にあり、AP=h+ADAP=h+AD, BP=h+BCBP=h+BC を満たすとき、1h≥1AD+1BC\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}} を証明せよ。
ステップ 5/5: 等式から不等式へ戻る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

極値でない円は小さく、高さが小さいほど逆平方根は大きい。

h≤hmax⁡ ⟹ 1h≥1AD+1BCh\le h_{\max}\ \Longrightarrow\ \frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}
詳しい解説

極値配置は AD,BCAD,BC を固定したとき hh を最大化するので、任意の配置で h≤hmax⁡h\le h_{\max}。正の範囲で x↦1/xx\mapsto1/\sqrt{x} は減少するから、ステップ4の hmax⁡h_{\max} における等式は 1h≥1AD+1BC\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}} に変わる。