MathLabs

第5問

任意の正整数 nn に対し、素数でも素数のべきでもない正整数が nn 個連続して存在することを証明せよ。
ステップ 1/4: 階乗の二乗を選ぶ
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

階乗は小さいずれをすべて大きな基数の約数にする。

N=n+1,Xr=(N!)2+r(2≤r≤N)N=n+1,\qquad X_r=(N!)^2+r\quad(2\le r\le N)
詳しい解説

N=n+1N=n+1 と置き、r=2,3,…,Nr=2,3,\ldots,N に対して Xr=(N!)2+rX_r=(N!)^2+r と定める。これは (N!)2+2(N!)^2+2 から (N!)2+N(N!)^2+N までの連続整数で、個数は N−1=nN-1=n 個である。