MathLabs

第5問

任意の正整数 nn に対し、素数でも素数のべきでもない正整数が nn 個連続して存在することを証明せよ。
ステップ 3/4: ずれの素因数を使う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

11 を足すことで選んだ素数だけでは因数分解全体にならない。

pr∣r,pr∣Xr,pr∤Xrrp_r\mid r,\quad p_r\mid X_r,\quad p_r\nmid\frac{X_r}{r}
詳しい解説

rr を割る素数 prp_r を選ぶ。N!/rN!/r は整数なので N!(N!/r)N!(N!/r) は rr で割り切れ、N!(N!/r)+1N!(N!/r)+1 は rr を法として 11、特に prp_r では割り切れない。したがって XrX_r は prp_r で割り切れるが、prp_r で割った商はなお 11 より大きい。