MathLabs

第5問

任意の正整数 nn に対し、素数でも素数のべきでもない正整数が nn 個連続して存在することを証明せよ。
ステップ 4/4: 素数と素数べきを排除する
ざっくり言うと

素数べきの素因数は1種類だけだが、この構成は第2の素数を強制する。

Xr has at least two distinct prime divisorsX_r\text{ has at least two distinct prime divisors}
詳しい解説

XrX_r は素因数 prp_r を持ち、さらに prp_r で割り切れない 11 より大きい因子を持つ。従って少なくとも2種類の素因数があり、素数でも単一素数のべきでもない。nn 個の連続数 X2,…,XNX_2,\ldots,X_N が結論を与える。