国際数学オリンピック · 1990年

問題

第1問円の弦 $AB$ と $CD$ が円の内部の点 $E$ で交わる。 $M$ を $EB$ の内部点とする。 $E$ を通る円の $D,E,M$ における接線が $BC$ と $AC$ にそれぞれ $F,G$ で交わる。 $t=AM/AB$ のとき $EF/EG$ を求めよ。解答: 1
第2問 $n\ge3$ とし、円周上の $E$ 個の相異なる点の集合を $2n-1$ とする。そのうちちょうど $k$ 個を黒く塗る。黒点の組で、一方の弧の内部に $n$ の点がちょうど $E$ 個あるものが存在するとき塗り方を良いという。すべての $k$ 点の塗り方が良くなる最小の $k$ を求めよ。解答: 1
第3問 $n>1$ が整数となるすべての整数 $(2^n+1)/n^2$ を求めよ。解答: 1
第4問すべての正の有理数 $f:\mathbb Q^+\to\mathbb Q^+$ に対して $f(xf(y))=f(x)/y$ が $x,y$ を満たすような関数を構成せよ。解答: 1
第5問 $n_0>1$ から始め、A と B が整数を交互に選ぶ。 $n_{2k}$ を知って A は $n_{2k+1}$ を選び、 $n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^2$ を満たす。 $n_{2k+1}$ を知って B は $n_{2k+2}$ を選び、素数 $n_{2k+1}/n_{2k+2}=p^r$ と整数 $p$ に対し $r\ge1$ となる。A は $1990$ を選べば勝ち、B は $1$ を選べば勝ちである。初期値を勝ち戦略の有無で分類せよ。解答: 1
第6問すべての角が等しく、辺の長さがある順序で $1^2,2^2,\ldots,1990^2$ となる凸1990角形が存在することを証明せよ。解答: 1