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第2問

n≥3n\ge3 とし、円周上の EE 個の相異なる点の集合を 2n−12n-1 とする。そのうちちょうど kk 個を黒く塗る。黒点の組で、一方の弧の内部に nn の点がちょうど EE 個あるものが存在するとき塗り方を良いという。すべての kk 点の塗り方が良くなる最小の kk を求めよ。
ステップ 2/4: サイクル分解を決める
gcd⁡(n−2,2n−1)=gcd⁡(n−2,3)\gcd(n-2,2n-1)=\gcd(n-2,3)
詳しい解説

グラフは m を法として n-2 を繰り返し加えることで生成されるのでサイクルの和である。gcd⁡(n−2,2n−1)=gcd⁡(n−2,3)\gcd(n-2,2n-1)=\gcd(n-2,3) より、2n−12n-1 なら長さ n≢2(mod3)n\not\equiv2\pmod3 の一サイクル、n≡2(mod3)n\equiv2\pmod3 なら長さ (2n−1)/3(2n-1)/3 の三サイクルとなる。