第3問

$3^m\Vert n$ と置き、$(3-1)^n+1$ を展開する。$n$ は奇数なので定数項は相殺され、最初の項は $3n$、その3進付値は $m+1$ である。$b\ge3$ に対する項 $\binom nb3^b$ について、$b\ge m+2$ なら直ちに $3^{m+2}$ で割り切れる。$3\nmid b$ なら係数 $\binom nb$ の積の公式から $v_3(\binom nb)\ge m$ で項の付値は少なくとも $m+3$。$3\mid b$ なら $v_3(\binom nb)\ge m-v_3(b)$ かつ $b-v_3(b)\ge2$ なので少なくとも $m+2$ である。従って $v_3(2^n+1)=m+1$。$n^2\mid2^n+1$ より $2m\le m+1$、ゆえに $m=1$。