MathLabs

第3問

n>1n>1 が整数となるすべての整数 (2n+1)/n2(2^n+1)/n^2 を求めよ。
ステップ 4/4: 第二素因子を排除する
前のステップ次のステップ
n=3t,q∣t,q>3⟹w∣n,w<q,w∈{1,3}n=3t,\quad q\mid t,\quad q>3\Longrightarrow w\mid n,\quad w<q,\quad w\in\{1,3\}
詳しい解説

n>3n>3 なら n=3tn=3t と書き、tt の最小素因子を qq とするので q>3q>3。法 qq で指数の議論を繰り返すと、最小の ww が 2w≡−1(modq)2^w\equiv-1\pmod q を満たし、ww は nn を割り qq より小さい。3 は nn に一度しか現れないので、ww は1または3。すると qq は 3 を割るか、q∣(23+1)=9q\mid(2^3+1)=9 となり、q>3q>3 に反する。最後に n=3n=3 は (23+1)/32=1(2^3+1)/3^2=1 を満たす。