第4問

すべての正の有理数

f:\mathbb Q^+\to\mathbb Q^+

に対して

f(xf(y))=f(x)/y

が

x,y

を満たすような関数を構成せよ。

ステップ 4/5: 対応する素数上で関数を定める

f(p_i)=q_i,\qquad f(q_i)=\frac1{p_i}

詳しい解説

素数を二つの無限集合 $S=\{p_1,p_2,\ldots\}$ と $T=\{q_1,q_2,\ldots\}$ に分ける。 $f(p_i)=q_i$ 、 $f(q_i)=\frac1{p_i}$ と定め、一意な素因数分解により全ての正有理数へ乗法的に拡張する。