MathLabs

第5問

n0>1n_0>1 から始め、A と B が整数を交互に選ぶ。n2kn_{2k} を知って A は n2k+1n_{2k+1} を選び、n2k≤n2k+1≤n2k2n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^2 を満たす。n2k+1n_{2k+1} を知って B は n2k+2n_{2k+2} を選び、素数 n2k+1/n2k+2=prn_{2k+1}/n_{2k+2}=p^r と整数 pp に対し r≥1r\ge1 となる。A は 19901990 を選べば勝ち、B は 11 を選べば勝ちである。初期値を勝ち戦略の有無で分類せよ。
ステップ 3/6: 1990 より大きい値を扱う
前のステップ次のステップ
n=1991=11⋅181↦1991,11r⋅181+1≤n≤11r+1⋅181↦11r+1⋅181n=1991=11\cdot181\mapsto1991,\qquad 11^r\cdot181+1\le n\le11^{r+1}\cdot181\mapsto11^{r+1}\cdot181
詳しい解説

n=1991=11⋅181n=1991=11\cdot181 では、A は 1991 を繰り返し選ぶ。一般に 11r⋅181+1≤n≤11r+1⋅18111^r\cdot181+1\le n\le11^{r+1}\cdot181 なら 11r+1⋅18111^{r+1}\cdot181 を選ぶ。B が素数冪で割った後の数は現在の nn より真に小さいが、1111 以上である。これを繰り返すと前の勝ち区間に入る。