第6問

すべての角が等しく、辺の長さがある順序で

1^2,2^2,\ldots,1990^2

となる凸1990角形が存在することを証明せよ。

ステップ 1/4: 等角の辺を複素ベクトルで表す

\omega=e^{2\pi i/1990},\qquad v_{i,j,k}=r(i,j,k)^2(-1)^ia^jb^k

詳しい解説

$\omega$ を1990次の原始根とする。長さ $r(i,j,k)^2$ を方向 $(-1)^ia^jb^k$ に対応させる。これは各ステップが $2\pi/1990$ 増加する1990個の連続方向である。ベクトル和が零なら正の辺は閉じて等角かつ凸の多角形を作る。