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第6問

すべての角が等しく、辺の長さがある順序で 12,22,…,199021^2,2^2,\ldots,1990^2 となる凸1990角形が存在することを証明せよ。
ステップ 4/4: 3つの等比和によりベクトル和が零になる
∑i,j,kr(i,j,k)2(−1)iajbk=0\sum_{i,j,k}r(i,j,k)^2(-1)^ia^jb^k=0
詳しい解説

s=1+199j+k と置く。まずiについて和を取ると、-995の二乗に a^j b^k の和を掛けた項と、-1990に s a^j b^k の和を掛けた項を得る。第1項はa^jの和が零なので消える。第2項では(1+k)の部分はjについて和を取ると零になり、199jの部分はkについて和を取ると零になる。従って全ベクトル和は零であり、主張が示された。