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第1問

1<a<b<c1<a<b<c を満たす整数a,b,cで、(a−1)(b−1)(c−1)(a-1)(b-1)(c-1) が abc−1abc-1 の約数となるものをすべて求めよ。
ステップ 6/6: q≥3でa=3,4を排除する
a=3 or 4, q≥3 ⟹ (2q−3)bc>2q(b+c) or (3q−4)bc>3q(b+c)a=3\text{ or }4,\ q\ge3\ \Longrightarrow\ (2q-3)bc>2q(b+c)\text{ or }(3q-4)bc>3q(b+c)
詳しい解説

a=3では(2q−3)bc+(2q+1)=2q(b+c)。b≥4より左の積項は少なくとも(8q−12)cで、2q(b+c)より大きい。a=4では(3q−4)bc+(3q+1)=3q(b+c)、b≥5でさらに強い不等式となる。両方不可能。従って解は(2,4,8),(3,5,15)のみで、代入で確認できる。