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第2問

関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R で、すべての実数 x,yx,y に対して f(x2+f(y))=y+f(x)2f(x^2+f(y))=y+f(x)^2 を満たすものをすべて求めよ。
ステップ 2/5: f(0)=0f(0)=0 を導く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

f(0)=0f(0)=0 を導く

f(t2+f(1)2)=1+t+2t2+t4=1+t+t4f(t^2+f(1)^2)=1+t+2t^2+t^4=1+t+t^4
詳しい解説

最初の関係から f(t2+f(1)2)=t+(1+t2)2=1+t+2t2+t4f(t^2+f(1)^2)=t+(1+t^2)^2=1+t+2t^2+t^4。一方、元の式に x=t,y=1+tx=t,y=1+t を代入し、f(1+t)=f(1)2f(1+t)=f(1)^2 と f(t)=t2f(t)=t^2 を用いると f(t2+f(1)2)=1+t+t4f(t^2+f(1)^2)=1+t+t^4。従って 2t2=02t^2=0、ゆえに t=0t=0。