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第2問

関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R で、すべての実数 x,yx,y に対して f(x2+f(y))=y+f(x)2f(x^2+f(y))=y+f(x)^2 を満たすものをすべて求めよ。
ステップ 3/5: 正の増分に対する加法性を得る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

正の増分に対する加法性を得る

f(f(x))=x,f(x2)=f(x)2,f(x2+y)=f(x)+f(y)f(f(x))=x,\qquad f(x^2)=f(x)^2,\qquad f(x^2+y)=f(x)+f(y)
詳しい解説

t=0t=0 とすると f(f(x))=xf(f(x))=x、f(x2)=f(x)2f(x^2)=f(x)^2。元の式で yy として z=f(y)z=f(y) と置くと、y=f(z)y=f(z) なので f(x2+y)=f(y)+f(x)2=f(y)+f(x2)f(x^2+y)=f(y)+f(x)^2=f(y)+f(x^2)。u=x2u=x^2 と書けば、任意の u>0u>0 で f(u+y)=f(u)+f(y)f(u+y)=f(u)+f(y)。