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第2問

関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R で、すべての実数 x,yx,y に対して f(x2+f(y))=y+f(x)2f(x^2+f(y))=y+f(x)^2 を満たすものをすべて求めよ。
ステップ 4/5: 正の増分に対する加法性を全実数へ拡張する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

正の増分に対する加法性を全実数へ拡張する

f(−x)=−f(x),f(x+y)=f(x)+f(y)f(-x)=-f(x),\qquad f(x+y)=f(x)+f(y)
詳しい解説

y=−xy=-x を正の増分の恒等式に代入すると、x>0x>0 で f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)。この奇性と前の恒等式から、すべての実数 x,yx,y について f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y) および f(x−y)=f(x)−f(y)f(x-y)=f(x)-f(y)。