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第2問

関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R で、すべての実数 x,yx,y に対して f(x2+f(y))=y+f(x)2f(x^2+f(y))=y+f(x)^2 を満たすものをすべて求めよ。
ステップ 5/5: 非負性を用いて関数を決定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

非負性を用いて関数を決定する

f(z)=−z<0andf(z)=f(w2)=f(w)2≥0f(z)=-z<0\quad\text{and}\quad f(z)=f(w^2)=f(w)^2\ge0
詳しい解説

f(x)=y≠xf(x)=y\ne x と仮定する。y>xy>x なら z=y−x>0z=y-x>0、y<xy<x なら z=x−y>0z=x-y>0 と置く。加法性からどちらの場合も f(z)=−z<0f(z)=-z<0。w2=zw^2=z となる ww を取ると、f(z)=f(w2)=f(w)2≥0f(z)=f(w^2)=f(w)^2\ge0 となり矛盾。従ってすべての実数 xx で f(x)=xf(x)=x、直接代入で確認できる。