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第3問

9個の空間内の点を考え、4点が同一平面上にないとする。各点対を赤、青、または無色の辺で結ぶ。ちょうど nn 本の辺を彩色したとき必ず3辺が同色の三角形が存在するような最小の nn を求めよ。
ステップ 1/4: 32本の彩色辺をもつ構成を作る
ざっくり言うと

32本の彩色辺をもつ構成を作る

4+4+8+16=324+4+8+16=32
詳しい解説

R1,…,R4R_1,\dots,R_4 を赤の頂点、B1,…,B4B_1,\dots,B_4 を青の頂点、9番目の点を XX とする。各正方形の2本の対角線を無色にし、赤い正方形の残り4辺を赤、青い正方形の残り4辺を青にする。赤い正方形から XX への8辺を青、青い正方形から XX への8辺を赤にする。辺 RiBjR_iB_j は i,ji,j が同じ偶奇なら赤、異なれば青とする。総数は 4+4+8+16=324+4+8+16=32。