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第5問

SS を空間内の有限点集合とし、Sx,Sy,SzS_x,S_y,S_z をそれぞれ yzyz-、zxzx-、xyxy-平面への正射影とする。∣S∣2≤∣Sx∣∣Sy∣∣Sz∣|S|^2\le |S_x||S_y||S_z| を証明せよ。
ステップ 1/4: 一つの高さの場合
ざっくり言うと

一つの高さの場合

∣S∣=∣Sz∣,∣S∣≤∣Sx∣∣Sy∣|S|=|S_z|,\qquad |S|\le |S_x||S_y|
詳しい解説

すべての点の z 座標が同じなら、その平面を射影と同一視して S=SzS=S_z。S_y の各点の逆像は高々 |S_x| 個なので ∣S∣≤∣Sx∣∣Sy∣|S|\le |S_x||S_y|。∣Sz∣=∣S∣|S_z|=|S| より結論。