MathLabs

第5問

SS を空間内の有限点集合とし、Sx,Sy,SzS_x,S_y,S_z をそれぞれ yzyz-、zxzx-、xyxy-平面への正射影とする。∣S∣2≤∣Sx∣∣Sy∣∣Sz∣|S|^2\le |S_x||S_y||S_z| を証明せよ。
ステップ 2/4: 二つの非空な高さ範囲に分ける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの非空な高さ範囲に分ける

∣S∣=∣T∣+∣U∣,∣Sx∣=∣Tx∣+∣Ux∣,∣Sy∣=∣Ty∣+∣Uy∣|S|=|T|+|U|,\qquad |S_x|=|T_x|+|U_x|,\qquad |S_y|=|T_y|+|U_y|
詳しい解説

S を空でない T,U に分ける水平面を選ぶ。yz と zx への射影は高さで互いに素で、Tz,Uz⊆SzT_z,U_z\subseteq S_z だから、表示した射影の等式が成り立つ。