MathLabs

第5問

SS を空間内の有限点集合とし、Sx,Sy,SzS_x,S_y,S_z をそれぞれ yzyz-、zxzx-、xyxy-平面への正射影とする。∣S∣2≤∣Sx∣∣Sy∣∣Sz∣|S|^2\le |S_x||S_y||S_z| を証明せよ。
ステップ 4/4: 二つの項を結合する
ざっくり言うと

二つの項を結合する

ab+cd≤(a+c)(b+d)\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{(a+c)(b+d)}
詳しい解説

表示した不等式に a=∣Tx∣a=|T_x|、b=∣Ty∣b=|T_y|、c=∣Ux∣c=|U_x|、d=∣Uy∣d=|U_y| を代入する。射影の等式から ∣S∣≤(∣Sx∣∣Sy∣∣Sz∣)1/2|S|\le(|S_x||S_y||S_z|)^{1/2}、二乗して証明完了。