第6問

正整数

n

ごとに、最大整数

S(n)

を、すべての

k\le S(n)

について

n^2

を

k

個の正の平方の和に書けるように定める。(a)

S(n)\le n^2-14

を

n\ge4

で示せ。(b) 等号となる

n

を求めよ。(c) そのような

n

が無限に存在することを示せ。

ステップ 1/5: 一様な上界を示す

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

一様な上界を示す

13=3a+8b+15c+\cdots

詳しい解説

$N=n^2$ と置く。N を $N-13$ 個の正の平方で表すと、同数の1との差は $13$ 。可能な余剰は $3,8,15,\ldots$ なので $13=3a+8b+15c+\cdots$ 。 $15>13$ より $13=3a+8b$ だが解がない。従って $N-13$ は不可能で $S(n)\le N-14$ 。