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第6問

正整数 nn ごとに、最大整数 S(n)S(n) を、すべての k≤S(n)k\le S(n) について n2n^2 を kk 個の正の平方の和に書けるように定める。(a) S(n)≤n2−14S(n)\le n^2-14 を n≥4n\ge4 で示せ。(b) 等号となる nn を求めよ。(c) そのような nn が無限に存在することを示せ。
ステップ 3/5: 残り二つの剰余類を覆う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

残り二つの剰余類を覆う

169=5⋅42+149⋅12,169=92+92+151⋅12169=5\cdot4^2+149\cdot1^2,\quad169=9^2+9^2+151\cdot1^2
詳しい解説

169=5⋅42+149⋅12169=5\cdot4^2+149\cdot1^2 と 169=92+92+151⋅12169=9^2+9^2+151\cdot1^2 は、同じまとめ方で残り二つの剰余類を覆う。個数7,4,3,6 の明示的表示が短い端を埋めるので、すべての 1≤k≤1551\le k\le155 が可能で S(13)=155=132−14S(13)=155=13^2-14。