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第6問

正整数 nn ごとに、最大整数 S(n)S(n) を、すべての k≤S(n)k\le S(n) について n2n^2 を kk 個の正の平方の和に書けるように定める。(a) S(n)≤n2−14S(n)\le n^2-14 を n≥4n\ge4 で示せ。(b) 等号となる nn を求めよ。(c) そのような nn が無限に存在することを示せ。
ステップ 4/5: 完全平方を掛け合わせる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

完全平方を掛け合わせる

N3=N1N2,1≤k≤K1K2N_3=N_1N_2,\qquad 1\le k\le K_1K_2
詳しい解説

NiN_i を完全と呼ぶのは、すべての 1≤k≤Ki=Ni−141\le k\le K_i=N_i-14 が表せるときである。N1N_1 を i 個の平方で表し各ブロックを N2N_2 の選んだ個数の表示に置き換えると、i から iK_2 の区間が重なるため、積は 1≤k≤K1K21\le k\le K_1K_2 の全個数を表せる。