国際数学オリンピック · 1993年

問題

第1問 $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$ とおく。ただし $n>1$ は整数である。 $f(x)$ が整数係数をもつ二つの非定数多項式の積として表せないことを証明せよ。解答: 2
第2問鋭角三角形 $ABC$ の内部の点 $D$ が $\angle ADB=\angle ACB+\frac{\pi}{2}$ および $AC\cdot BD=AD\cdot BC$ を満たすとする。(a) 比 $\frac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD}$ を求めよ。(b) $\triangle ACD$ と $\triangle BCD$ の外接円の $C$ における接線が垂直であることを証明せよ。解答: 3
第3問無限チェス盤上で、各マスに一個ずつ置いた $n$ 行 $n$ 列のブロックに $n^2$ 個の駒を置く。手は、隣接する駒を水平方向または垂直方向に飛び越えて、その直後の空きマスへ移り、飛び越された駒を取り除くことである。最後に一個だけ残せる $n$ を求めよ。解答: 1
第4問平面上の三点 $A,B,C$ に対し、 $m(ABC)$ を三角形 $ABC$ の三つの高さの最小長とし、三点が一直線上なら $m(ABC)=0$ とする。 $A,B,C$ を固定したとき、平面上の任意の点 $X$ について $m(ABC)\le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)$ を証明せよ。解答: 1
第5問 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ とする。(i) $f(1)=2$ 、(ii) $f(f(n))=f(n)+n$ 、 $(n\in\mathbb{N})$ を満たす狭義単調増加関数 $f:\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N}$ が存在するか判定せよ。解答: 1
第6問円周上に $n$ 個のランプ $L_0,\ldots,L_{n-1}$ があり、 $n>1$ 、 $L_{n+k}=L_k$ とする。ステップ $s_i$ では、 $L_{i-1}$ が点灯していれば $L_i$ を反転し、そうでなければ何もしない。初めは全ランプが点灯している。(a) ある正整数 $M(n)$ が存在し、 $M(n)$ 回後に全点灯へ戻ることを示せ。(b) $n=2^k$ なら $M(n)=n^2-1$ とできることを示せ。(c) $n=2^k+1$ なら $M(n)=n^2-n+1$ とできることを示せ。解答: 1