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第4問

平面上の三点 A,B,CA,B,C に対し、m(ABC)m(ABC) を三角形 ABCABC の三つの高さの最小長とし、三点が一直線上なら m(ABC)=0m(ABC)=0 とする。A,B,CA,B,C を固定したとき、平面上の任意の点 XX について m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)m(ABC)\le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC) を証明せよ。
ステップ 2/5: X が ABC の内部
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

三つの小三角形の面積が ABC を敷き詰める。

m(ABX)+m(BCX)+m(CAX)≥2([ABX]+[BCX]+[CAX])am(ABX)+m(BCX)+m(CAX)\ge\frac{2([ABX]+[BCX]+[CAX])}{a}
詳しい解説

X が ABC の内部または境界上なら、四点間の距離はすべて a 以下。従って ABX,BCX,CAX の最長辺も a 以下で、各最小高さは面積の 2 倍を a で割った値以上である。