MathLabs

第4問

平面上の三点 A,B,CA,B,C に対し、m(ABC)m(ABC) を三角形 ABCABC の三つの高さの最小長とし、三点が一直線上なら m(ABC)=0m(ABC)=0 とする。A,B,CA,B,C を固定したとき、平面上の任意の点 XX について m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)m(ABC)\le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC) を証明せよ。
ステップ 4/5: 外部点を縮約する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

外部点を対辺へ戻しても関係する最小高さは減少しない。

m(ABX)+m(ACX)≥m(ABD)+m(ACD)m(ABX)+m(ACX)\ge m(ABD)+m(ACD)
詳しい解説

X が外部なら A,B,C のうち X から最遠の点を A とする。ABCX が凹なら、例えば B が ACX 内にあり、対応する半直線を比較して m(ACX)≥m(ABC)。凸なら D=AX∩BC とおく。最小高さを与える頂点ごとに調べると m(ABX)≥m(ABD)、同様に m(ACX)≥m(ACD) となる。