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第4問

平面上の三点 A,B,CA,B,C に対し、m(ABC)m(ABC) を三角形 ABCABC の三つの高さの最小長とし、三点が一直線上なら m(ABC)=0m(ABC)=0 とする。A,B,CA,B,C を固定したとき、平面上の任意の点 XX について m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)m(ABC)\le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC) を証明せよ。
ステップ 5/5: 内部の場合で結ぶ
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

外部の場合を面積加法で解決済みの内部の場合へ帰着する。

m(ABD)+m(ACD)+m(BCD)≥m(ABC)m(ABD)+m(ACD)+m(BCD)\ge m(ABC)
詳しい解説

D は BC 上にあるので、既に示した内部・境界の場合を D に適用すると上の不等式を得る（退化三角形 BCD の寄与は 0）。外部点の縮約と合わせて任意の X が従う。