MathLabs

第5問

N={1,2,3,…}\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\} とする。(i) f(1)=2f(1)=2、(ii) f(f(n))=f(n)+nf(f(n))=f(n)+n、(n∈N)(n\in\mathbb{N}) を満たす狭義単調増加関数 f:N↦Nf:\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N} が存在するか判定せよ。
ステップ 1/5: 候補を定める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

黄金比は合成で加法を再現する傾きである。

φ=1+52,f(n)=⌊φn+φ−1⌋\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad f(n)=\lfloor\varphi n+\varphi-1\rfloor
詳しい解説

φ を黄金比とし、上の床関数で f を定める。φ>1 なので n を 1 増やすと内部は 1 より大きく増え、f は狭義増加である。