第5問

\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}

とする。(i)

f(1)=2

、(ii)

f(f(n))=f(n)+n

、

(n\in\mathbb{N})

を満たす狭義単調増加関数

f:\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N}

が存在するか判定せよ。

ステップ 3/5: 合成の準備

ざっくり言うと

二次関係により誤差項がちょうど一つの単位区間に入る。

\varphi^2=\varphi+1,\qquad \varphi(\varphi-1)=1

詳しい解説

n を固定し、床の中身を整数 m と小数部分 δ に分ける。φ の無理性から 0<δ<1。二つの黄金比恒等式を使って次の f の適用を展開する。