MathLabs

第1問

a1,…,ama_1,\ldots,a_m を {1,…,n}\{1,\ldots,n\} の相異なる元とし、i≤ji\le j かつ ai+aj≤na_i+a_j\le n ならばその和もいずれかの aka_k であるとする。a1+⋯+amm≥n+12\frac{a_1+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2} を証明せよ。
ステップ 1/3: 要素を並べ替える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

まず元を小さい順に並べる。

a1<a2<⋯<ama_1<a_2<\cdots<a_m
詳しい解説

a1<a2<⋯<ama_1<a_2<\cdots<a_m となるように番号を付け直す。k≤(m+1)/2k\le(m+1)/2 の範囲で核心となる不等式を示す。