- 第1問a1,…,am を {1,…,n} の相異なる元とし、i≤j かつ ai+aj≤n ならばその和もいずれかの ak であるとする。ma1+⋯+am≥2n+1 を証明せよ。解答: 1
- 第2問AB=AC の二等辺三角形 ABC で、M を BC の中点とし、O∈AM を OB⊥AB となるように取る。Q∈BC に対し、E∈AB と F∈AC を Q と一直線上にある相異なる点とする。OQ⊥EF と QE=QF が同値であることを示せ。解答: 1
- 第3問正整数 k に対し、f(k) を {k+1,…,2k} の中で二進表示に 1 がちょうど三つある整数の個数とする。任意の正整数 m が f(k) の値として現れることを示し、f(k)=m となる k がちょうど一つであるような m をすべて求めよ。解答: 1
- 第4問mn−1n3+1 が整数となる正整数の順序対 (m,n) をすべて求めよ。解答: 1
- 第5問S を −1 より大きいすべての実数の集合とする。すべての x,y∈S に対して f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x) を満たし、さらに xf(x) が各区間 −1<x<0 と 0<x で狭義単調増加する関数 f:S→S をすべて求めよ。解答: 1
- 第6問次の性質を持つ正整数集合 A が存在することを示せ。任意の無限な素数集合 S に対し、ある正整数 m∈A と n∈/A が存在し、いずれもある k 個の相異なる S の元の積で、k≥2 とする。解答: 1