列の中央に関して対称な二元の和を下から評価する。
反対に ak+am−k+1≤na_k+a_{m-k+1}\le nak+am−k+1≤n と仮定する。すると 1≤i≤k1\le i\le k1≤i≤k に対する kkk 個の相異なる和 ai+am−k+1a_i+a_{m-k+1}ai+am−k+1 はすべて nnn 以下なので集合に属する。どれも am−k+1a_{m-k+1}am−k+1 より大きいが、その上には添字 m−k+2,…,mm-k+2,\ldots,mm−k+2,…,m の k−1k-1k−1 個しかなく矛盾である。