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第2問

AB=ACAB=AC の二等辺三角形 ABCABC で、MM を BCBC の中点とし、O∈AMO\in AM を OB⊥ABOB\perp AB となるように取る。Q∈BCQ\in BC に対し、E∈ABE\in AB と F∈ACF\in AC を QQ と一直線上にある相異なる点とする。OQ⊥EFOQ\perp EF と QE=QFQE=QF が同値であることを示せ。
ステップ 1/4: 垂直性から円に内接する四辺形を得る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの直角から四点が同一円上にあることが分かる。

EBOQ and OQCF are cyclicEBOQ\text{ and }OQCF\text{ are cyclic}
詳しい解説

OQ⊥EFOQ\perp EF と仮定する。EB⊂ABEB\subset AB かつ OB⊥ABOB\perp AB より ∠EBO=90∘\angle EBO=90^\circ、また EQ⊂EFEQ\subset EF より ∠EQO=90∘\angle EQO=90^\circ。従って EBOQEBOQ は円に内接する。同様に対称性から OC⊥ACOC\perp AC なので ∠OCF=∠OQF=90∘\angle OCF=\angle OQF=90^\circ、よって OQCFOQCF も円に内接する。