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第2問

AB=ACAB=AC の二等辺三角形 ABCABC で、MM を BCBC の中点とし、O∈AMO\in AM を OB⊥ABOB\perp AB となるように取る。Q∈BCQ\in BC に対し、E∈ABE\in AB と F∈ACF\in AC を QQ と一直線上にある相異なる点とする。OQ⊥EFOQ\perp EF と QE=QFQE=QF が同値であることを示せ。
ステップ 4/4: 矛盾で結論する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの Q を通る直線が異なると、AB と AC が平行になってしまう。

△QEE′≅△QFF′⇒AB∥AC\triangle QEE'\cong\triangle QFF'\Rightarrow AB\parallel AC
詳しい解説

E,Q,FE,Q,F と E′,Q,F′E',Q,F' はそれぞれ一直線上にあり、QE=QFQE=QF、QE′=QF′QE'=QF' で、QQ における挟角も等しい。従って三角形 QEE′QEE' と QFF′QFF' は SAS で合同であり、∠QEE′=∠QFF′\angle QEE'=\angle QFF'。しかし EE′⊂ABEE'\subset AB、FF′⊂ACFF'\subset AC で、EQEQ と FQFQ は同一直線上で逆向きなので、この等角は AB∥ACAB\parallel AC を意味し、非退化三角形に矛盾する。従って元の EFEF は OQOQ に垂直である。