MathLabs

第3問

正整数 kk に対し、f(k)f(k) を {k+1,…,2k}\{k+1,\ldots,2k\} の中で二進表示に 11 がちょうど三つある整数の個数とする。任意の正整数 mm が f(k)f(k) の値として現れることを示し、f(k)=mf(k)=m となる kk がちょうど一つであるような mm をすべて求めよ。
ステップ 4/5: 1 が二つある連続する二進数を求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

1 が二つある連続する数を求める。

k−1=2n+1,k=2n+2(n≥2)k-1=2^n+1,\quad k=2^n+2\quad(n\ge2)
詳しい解説

正整数とその後者がともに 11 を二つ持つなら、小さい方は上位の 11 と末尾の 11 を持つので k−1=2n+1k-1=2^n+1。kk も 11 を二つ持つには n≥2n\ge2 が必要で、k=2n+2k=2^n+2 となる。