第5問

S

を

-1

より大きいすべての実数の集合とする。すべての

x,y\in S

に対して

f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)

を満たし、さらに

\frac{f(x)}{x}

が各区間

-1<x<0

と

0<x

で狭義単調増加する関数

f:S\to S

をすべて求めよ。

ステップ 2/4: 狭義単調性を使う

ざっくり言うと

同じ区間の異なる二つの不動点では、狭義増加する比が同じ値になってしまう。

\frac{f(a)}a=\frac{f(b)}b=1

詳しい解説

$a\in(-1,0)$ なら $a$ と $b$ はその区間内の相異なる二点であり、 $\frac{f(a)}a=\frac{f(b)}b=1$ となるので狭義増加性に反する。 $a>0$ の場合も同じ矛盾が生じる。従って唯一の不動点は $a=0$ である。