MathLabs

第5問

SS を −1-1 より大きいすべての実数の集合とする。すべての x,y∈Sx,y\in S に対して f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x) を満たし、さらに f(x)x\frac{f(x)}{x} が各区間 −1<x<0-1<x<0 と 0<x0<x で狭義単調増加する関数 f:S→Sf:S\to S をすべて求めよ。
ステップ 3/4: 対角線上で方程式を使う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

この形の入力はすべて不動点なので、唯一の不動点 00 に等しい。

f(x+f(x)+xf(x))=x+f(x)+xf(x)f(x+f(x)+xf(x))=x+f(x)+xf(x)
詳しい解説

関数方程式で x=yx=y と置くと、f(k)=kf(k)=k に対し k=x+f(x)+xf(x)k=x+f(x)+xf(x) を得る。00 が唯一の不動点なので全ての k=0k=0 で x∈Sx\in S。従って x+f(x)+xf(x)=0x+f(x)+xf(x)=0、すなわち f(x)=−xx+1f(x)=-\frac{x}{x+1}。