MathLabs

第5問

SS を −1-1 より大きいすべての実数の集合とする。すべての x,y∈Sx,y\in S に対して f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x) を満たし、さらに f(x)x\frac{f(x)}{x} が各区間 −1<x<0-1<x<0 と 0<x0<x で狭義単調増加する関数 f:S→Sf:S\to S をすべて求めよ。
ステップ 4/4: 得られた関数を確認する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

この分数線形写像は定義域を保ち、必要な比の単調性を持つ。

f(x)=−xx+1f(x)=-\frac{x}{x+1}
詳しい解説

x>−1x>-1 なら f(x)+1=1x+1>0f(x)+1=\frac1{x+1}>0 なので f(x)∈Sf(x)\in S。また f(x)x=−1x+1\frac{f(x)}x=-\frac1{x+1} の導関数は両区間で 1(x+1)2>0\frac1{(x+1)^2}>0。方程式への代入も成り立つので、これが唯一の解である。