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第6問

次の性質を持つ正整数集合 AA が存在することを示せ。任意の無限な素数集合 SS に対し、ある正整数 m∈Am\in A と n∉An\notin A が存在し、いずれもある kk 個の相異なる SS の元の積で、k≥2k\ge2 とする。
ステップ 1/4: 集合を定義する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

最小素因子と因子の個数の一致で集合への所属を決める。

A={q1q2⋯qq1:q1<q2<⋯<qq1 are primes}A=\{q_1q_2\cdots q_{q_1}:q_1<q_2<\cdots<q_{q_1}\text{ are primes}\}
詳しい解説

A={q1q2⋯qq1:q1<q2<⋯<qq1 are primes}A=\{q_1q_2\cdots q_{q_1}:q_1<q_2<\cdots<q_{q_1}\text{ are primes}\} と定める。従って平方因子を持たない整数が AA に入るのは、素因子の個数が最小素因子に等しいときである。この個数は常に q1≥2q_1\ge2。