第6問

次の性質を持つ正整数集合

A

が存在することを示せ。任意の無限な素数集合

S

に対し、ある正整数

m\in A

と

n\notin A

が存在し、いずれもある

k

個の相異なる

S

の元の積で、

k\ge2

とする。

ステップ 3/4:

A

の元を作る

ざっくり言うと

最初のブロックは最小素因子と同じ個数の因子を持つ。

m=s_1s_2\cdots s_k\in A

詳しい解説

$m=s_1s_2\cdots s_k$ と取る。素因子は相異なり、最小素因子は $s_1=k$ 、因子数も $k$ 個である。従って $m\in A$ 。