MathLabs

第1問

A,B,C,DA,B,C,D をこの順に並ぶ一直線上の相異なる4点とする。直径 ACAC と BDBD の円は XX と YY で交わる。直線 XYXY と BCBC の交点を ZZ とする。ZZ 以外の XYXY 上の点を PP とする。直線 CPCP と直径 ACAC の円のもう一つの交点を CC と MM、直線 BPBP と直径 BDBD の円のもう一つの交点を BB と NN とする。直線 AMAM、DNDN、XYXY が一点で交わることを示せ。
ステップ 3/3: 根軸の冪の等式を使う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二円の共通弦が XYXY なので、ZZ を通る各割線の冪は等しい。

BZ⋅DZ=XZ⋅YZ=AZ⋅CZBZ\cdot DZ=XZ\cdot YZ=AZ\cdot CZ
詳しい解説

ZZ に関する二円の冪より BZ⋅DZ=XZ⋅YZ=AZ⋅CZBZ\cdot DZ=XZ\cdot YZ=AZ\cdot CZ。従って QZ=Q′ZQZ=Q'Z、よって Q=Q′Q=Q'。この共通点は DNDN、AMAM、XYXY 上にあり、三直線の共点性が示される。