国際数学オリンピック · 1995年

問題

第1問 $A,B,C,D$ をこの順に並ぶ一直線上の相異なる4点とする。直径 $AC$ と $BD$ の円は $X$ と $Y$ で交わる。直線 $XY$ と $BC$ の交点を $Z$ とする。 $Z$ 以外の $XY$ 上の点を $P$ とする。直線 $CP$ と直径 $AC$ の円のもう一つの交点を $C$ と $M$ 、直線 $BP$ と直径 $BD$ の円のもう一つの交点を $B$ と $N$ とする。直線 $AM$ 、 $DN$ 、 $XY$ が一点で交わることを示せ。解答: 1
第2問 $abc=1$ を満たす正の実数 $a,b,c$ に対して、 $\frac1{a^3(b+c)}+\frac1{b^3(c+a)}+\frac1{c^3(a+b)}\ge\frac32$ を証明せよ。解答: 1
第3問次を満たす整数 $n>3$ をすべて求めよ。平面上に3点が一直線上にない $n$ 点 $A_1,\ldots,A_n$ と実数 $r_1,\ldots,r_n$ が存在し、相異なる $i,j,k$ に対して三角形 $A_iA_jA_k$ の面積が $r_i+r_j+r_k$ となる。解答: 1
第4問 $x_0=x_{1995}$ を満たす正の実数列 $x_0,x_1,\ldots,x_{1995}$ が存在し、 $i=1,\ldots,1995$ で $x_{i-1}+\frac2{x_{i-1}}=2x_i+\frac1{x_i}$ となるとき、 $x_0$ の最大値を求めよ。解答: 1
第5問 $ABCDEF$ を凸六角形とし、 $AB=BC=CD$ 、 $DE=EF=FA$ 、 $\angle BCD=\angle EFA=60^\circ$ とする。六角形内部の点 $G$ と $H$ が $\angle AGB=\angle DHE=120^\circ$ を満たすとき、 $AG+GB+GH+DH+HE\ge CF$ を示せ。解答: 1
第6問 $p$ を奇素数とする。 $\{1,2,\ldots,2p\}$ の $p$ 元部分集合 $A$ で、その元の和が $p$ で割り切れるものはいくつあるか。解答: 1