MathLabs

第2問

abc=1abc=1 を満たす正の実数 a,b,ca,b,c に対して、1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32\frac1{a^3(b+c)}+\frac1{b^3(c+a)}+\frac1{c^3(a+b)}\ge\frac32 を証明せよ。
ステップ 1/3: 変数を逆数に置く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

abc=1abc=1 は逆数置換後も積の条件として残る。

a=1/x, b=1/y, c=1/z,xyz=1a=1/x,\ b=1/y,\ c=1/z,\quad xyz=1
詳しい解説

a=1/x, b=1/y, c=1/za=1/x,\ b=1/y,\ c=1/z と置くと xyz=1xyz=1。各巡回項は x2y+z\frac{x^2}{y+z} となるので、左辺を EE と書く。