MathLabs

第2問

abc=1abc=1 を満たす正の実数 a,b,ca,b,c に対して、1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32\frac1{a^3(b+c)}+\frac1{b^3(c+a)}+\frac1{c^3(a+b)}\ge\frac32 を証明せよ。
ステップ 2/3: コーシー・シュワルツを適用する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

エンゲル形の不等式で三つの分母を 2(x+y+z)2(x+y+z) にまとめる。

E≥x+y+z2E\ge\frac{x+y+z}{2}
詳しい解説

コーシー・シュワルツより (y+z+z+x+x+y)E≥(x+y+z)2(y+z+z+x+x+y)E\ge(x+y+z)^2。括弧は 2(x+y+z)2(x+y+z) なので E≥x+y+z2E\ge\frac{x+y+z}{2} を得る。