MathLabs

第2問

abc=1abc=1 を満たす正の実数 a,b,ca,b,c に対して、1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32\frac1{a^3(b+c)}+\frac1{b^3(c+a)}+\frac1{c^3(a+b)}\ge\frac32 を証明せよ。
ステップ 3/3: 相加相乗平均で終える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

積の条件が最後の数値下界を与える。

x+y+z≥3(xyz)1/3=3x+y+z\ge3(xyz)^{1/3}=3
詳しい解説

相加相乗平均により x+y+z≥3(xyz)1/3=3x+y+z\ge3(xyz)^{1/3}=3。これと E≥x+y+z2E\ge\frac{x+y+z}{2} を合わせれば E≥32E\ge\frac32 となり、証明完了。