MathLabs

第3問

次を満たす整数 n>3n>3 をすべて求めよ。平面上に3点が一直線上にない nn 点 A1,…,AnA_1,\ldots,A_n と実数 r1,…,rnr_1,\ldots,r_n が存在し、相異なる i,j,ki,j,k に対して三角形 AiAjAkA_iA_jA_k の面積が ri+rj+rkr_i+r_j+r_k となる。
ステップ 1/4: 四点が可能であることを示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

正方形では四つの三角形の面積が等しい。

n=4n=4
詳しい解説

一辺1の正方形の頂点を取り、r1=r2=r3=r4=16r_1=r_2=r_3=r_4=\frac16 とする。任意の三頂点の三角形の面積は 12=ri+rj+rk\frac12=r_i+r_j+r_k なので n=4n=4 は可能。